Teadmised

Kuidas arvestada teise astme polünoomi (teise astme võrrand)

Posted on
Autor: Monica Porter
Loomise Kuupäev: 17 Märts 2021
Värskenduse Kuupäev: 1 Juuli 2024
Anonim
Kuidas arvestada teise astme polünoomi (teise astme võrrand) - Teadmised
Kuidas arvestada teise astme polünoomi (teise astme võrrand) - Teadmised

Sisu

Selles artiklis: Jätkake katse-eksituse meetodilJätka lagundamise teel "Kolmekordne mäng" Kahe ruudu erinevusKasutage ruutkeskmist valemitKalkulaatori kasutamine

Polünoom koosneb muutujast (x), mis on tõstetud teatud võimsuseni, mida nimetatakse polünoomi astmeni, ja mitmetest teistest madalama astme terminitest ja / või mitmetest muudest konstantidest. Teise astme polünoomi (mida nimetatakse ka "ruutkeskmise võrrandiks") faktoriseerimiseks tähendab algses avaldises taandamist väiksemate kraadide avaldiste korrutis, mida saab seejärel üksteisega korrutada. Need teadmised on osa keskkooli kursusest ja muust, nii et sellest artiklist võib olla keeruline aru saada, kui teil pole veel matemaatika nõutavat taset.


etappidel

Alustuseks



  1. Kirjutage oma väljend. Teise astme võrrandi tüüpvorm on:

    ax + bx + c = 0
    Alustuseks korraldage oma võrrandi tingimused vastavalt võimu järjekorrale, suurimast väikseimani, nagu tavalisel kujul. Võtame näiteks:

    6 + 6x + 13x = 0
    Selle väljendi muudame töö hõlbustamiseks ümber, liigutades lihtsalt termineid:

    6x + 13x + 6 = 0.



  2. Leidke faktoorne vorm, kasutades ühte allpool selgitatud meetoditest. Faktoriseerimine annab kaks lühemat avaldist, mis annavad algse polünoomi, kui korrutame need üksteisega:

    6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
    Selles näites on (2x +3) ja (3x + 2) tegurid algsest avaldisest 6x + 13x + 6.




  3. Kontrolli oma tööd! Korrutage tuvastatud tegurid. Seejärel ühendage sarnased terminid ja saategi tehtud. Alusta:

    (2x + 3) (3x + 2)
    Alustame selle avalduse testimist, korrutades kahe avaldise tingimused:

    6x + 4x + 9x + 6
    Sealt saame lisada 4x ja 9x, kuna need on sama kraadi terminid. Siis teame, et meie tegurid on õiged, kuna langeme hästi lahkumise väljendusse:

    6x + 13x + 6.

1. meetod Jätkake katse-eksituse meetodil

Kui tegemist on üsna lihtsa polünoomiga, peaksite selle lagunemise faktorite tootena lühidalt leidma. Näiteks näevad paljud matemaatikud seda väljendit 4x + 4x + 1 annab tegurid (2x + 1) ja (2x + 1) harjumuse ja kogemuste põhjal (ilmselgelt pole see keerukate polünoomide puhul nii lihtne). Selle näite jaoks võtame vähem levinud väljendi:


3x + 2x - 8

.



  1. Koostage koefitsientide tegurid on ja c. Vormi väljenduse kasutamine ax + bx + c = 0, määrake koefitsiendid on ja c ja loetlege vastavad tegurid. Sest: 3x + 2x - 8, see annab:

    a = 3 ja sellel on ainult üks tegurite paar: 1 * 3
    c = -8 ja neli tegurite paari: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 ja -1 * 8.



  2. Kirjutage paberitükile kaks paari sulgudes tühikutega, et kirjutada nende sisse. Sisestate iga avaldise konstandid antud ruumi:

    (x) (x).



  3. Enne x-i kirjutage koefitsiendi paar võimalikke tegureid on. Koefitsiendi jaoks on meie näites 3x on ainult üks võimalus:

    (3x) (1x).



  4. Seejärel täitke kaks järelejäänud tühja kohta koefitsiendi paariga c. Võtke näiteks 8 ja 1. Pange need kirja:

    (3x8) (X1).



  5. Otsustage nüüd märk (rohkem või vähem), et asetada x ja numbri vahele, mille panite talle järele. Algse väljendi märgi järgi on võimalik leida, millised peaksid olema konstantide märgid. üleskutse h ja k meie tegurite konstandid:

    Kui ax + bx + c, siis (x + h) (x + k)
    Kui ax - bx - c või ax + bx - c, siis (x - h) (x + k)
    Kui ax - bx + c, siis (x - h) (x - k)
    Meie näites 3x + 2x - 8 peavad märgid olema paigutatud järgmiselt: (x - h) (x + k), mis annab meile järgmised kaks tegurit:

    (3x + 8) ja (x - 1).



  6. Kontrollige oma kujundatud vormi ümber. Esimene kiirtest on kontrollida, kas keskmisel terminil on õige väärtus. Kui x pole hea, siis võisite koefitsiendiks valida vale tegurite paari c. Vaatame oma tulemusi:

    (3x + 8) (x - 1)
    Korrutades saame:

    3x - 3x + 8x - 8
    Selle väljendi lihtsustamiseks lisades sarnased mõisted (-3x) ja (8x), saame:

    3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
    Nüüd teame, et oleme tõenäoliselt tuvastanud valed tegurid:

    3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8.



  7. Vajadusel vahetage valitud tegurite vahel. Proovime meie näites 1 ja 8 asemel 2 ja 4:

    (3x + 2) (x - 4)
    Nüüd meie koefitsient c on -8, kuid korrutamisel (3x * -4) ja (2 * x) saadakse -12x ja 2x, mis lisaks ei anna alati algväärtust b, see tähendab + 2x.

    -12x + 2x = 10x
    10x ≠ 2x.



  8. Vajadusel muutke tellimust vastupidiseks. Pöörame oma näites 2 ja 4 koha ümber:

    (3x + 4) (x - 2)
    Nüüd koefitsient c on alati hea, kuid tingimuste koefitsiendid x-s on seda aega väärt -6x ja 4x. Pärast lisamist annab see:

    -6x + 4x = -2x
    2x ≠ -2x Oleme väga lähedal algväärtusele 2x, mida otsime leida, kuid märk pole hea.



  9. Vajaduse korral kontrollige uuesti märke. Peame nüüd sama korda, kuid vahetame märgid:

    (3x – 4) (x + 2)
    Koefitsient enne c on alati hea ja x-i terminid on nüüd väärt (6x) ja (-4x). Alates:

    6x - 4x = 2x
    2x = 2x Nii saame 2x, mis meil algselt oli. Nii et ilmselt leidsime õiged tegurid.

2. meetod Jätkatakse lagundamise teel

See meetod võimaldab meil koefitsientide saamiseks tuvastada kõik võimalikud tegurid on ja c ja kasutage neid õigete tegurite väljaselgitamiseks. Kui arvud on väga suured või kui muud katse- ja tõrkemeetodid tunduvad liiga pikad, saate seda meetodit kasutada. Võtke järgmine näide:

6x + 13x + 6

.



  1. Korrutage koefitsient on koefitsiendi järgi c. Meie näites on on võrdne 6 ja c on võrdne ka 6-ga.

    6 * 6 = 36.



  2. Leidke koefitsient b faktoorimise teel ja seejärel saadud tegurite testimisega. Otsime kahte numbrit, mis on toote tegurid on * c mille oleme tuvastanud ja mille summa on väärtuseks koefitsiendi "b" väärtust (13).

    4 * 9 = 36
    4 + 9 = 13.



  3. Esitage kaks võrrandisse äsja sattunud arvu; asetage need x ette, nii et nende summa oleks võrdne koefitsiendiga b. Võtame kirjad k ja h kahe saadud arvu 4 ja 9 tähistamiseks:

    kirves + kx + hx + c
    6x + 4x + 9x + 6.



  4. Faktorige oma polünoomi rühmitamise teel. Korraldage võrrand nii, et leitakse kahe esimese termini suurim ühistegur ja kahe viimase termini suurim ühistegur. Seejärel peaksite saama kahe identse faktilise vormi summa. Summeerige kaks koefitsienti kokku ja pange need sulgudes oma arvestatud vormi ette; siis saate oma kaks tegurit:

    6x + 4x + 9x + 6
    2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
    (2x + 3) (3x + 2).

3. meetod "kolmikmäng"

See meetod on eelmisega väga sarnane. See seisneb koefitsientide korrutiste võimalike tegurite uurimises on ja c, siis kasutage neid väärtuse leidmiseks b. Võtame näiteks järgmise võrrandi:

8x + 10x + 2



  1. Korrutage koefitsient on koefitsiendi järgi c. Nagu lagunemismeetodi puhul, aitab see ka meil koefitsiendi potentsiaalseid kandidaate kindlaks teha b. Meie näites on on võrdne 8 ja c on väärt 2.

    8 * 2 = 16.



  2. Leidke kaks numbrit, mille korrutis on just varem leitud arv (16) ja mille summa annab koefitsiendi "b". See samm on identne lagunemismeetodi etapiga - see tähendab, et testime ja lükkame ümber konstantide kandidaadid. Koefitsientide korrutis on ja c on võrdne 16-ga ja koefitsient c on võrdne 10:

    2 * 8 = 16
    8 + 2 = 10.



  3. Võtke need kaks numbrit ja asendage need valemiga "kolmikmäng". Võtke kaks numbrit eelmisest sammust - helistage neile h ja k - ja tutvustada neid järgmises väljendis:

    ((kirves + h) (kirves + k)) / a

    Seejärel saame:

    ((8x + 8) (8x + 2)) / 8.



  4. Leidke, milline lugeja sulgudest on jagatud koefitsiendiga on. Selles näites katsetame, kas (8x + 8) või (8x + 2) saab jagada 8-ga. (8x + 8) jagub 8-ga, siis jagame selle avalduse on ja jäta teine ​​väljend selliseks, nagu see on.

    (8x + 8) = 8 (x + 1)
    Väljend, mida me siin hoiame, jääb alles pärast jagamist koefitsiendiga on : (x + 1).



  5. Otsige mõlemast sulust suurem ühistegur - kui see on olemas. Meie näites on teise avaldise suurem ühistegur 2, kuna 8x + 2 = 2 (4x + 1). Kombineerige see vastus eelmises etapis leitud väljendiga. Seega olete leidnud oma polünoomi kaks tegurit.

    2 (x + 1) (4x + 1).

4. meetod Kahe ruudu erinevus

Mõnda polünoomi koefitsienti võib identifitseerida ruutudena, st kahe arvu korrutamisel. Neid ruute identifitseerides saate mõne polünoomi palju kiiremini mõjutada. Võtame näiteks võrrandi:

27x - 12 = 0



  1. Alustage faktoorimisega, kui see on võimalik, suuremaks ühiseks teguriks. Meie näites näeme 27 ja 12, mis mõlemad jagunevad 3-ga, nii et saame algse avalduse "lõhkeda" järgmiselt:

    27x-12 = 3 (9x-4).



  2. Tehke kindlaks, kas teie võrrandi koefitsiendid on ruudukujulised. Selle meetodi kasutamiseks peaksite suutma leida koefitsientide ruutjuured (pange tähele, et me ei arvesta negatiivseid märke - kuna tegemist on ruutudega, võivad need olla kahe positiivse arvu korrutis või negatiivne)

    9x = 3x * 3x ja 4 = 2 * 2.



  3. Kasutage leitud ruudukujulisi juuri, kirjutage oma tegurid. Võtke väärtused on ja c varem leitud - on = 9 ja c = 4 - enne nende ruutjuure leidmist - √on = 3 ja √c = 2. Need on meie arvestatud avaldiste koefitsiendid:

    27x – 12 = 3 (9x – 4) = 3 (3x + 2) (3x – 2)

5. meetod ruutkeskmise valemi kasutamine

Kui kõik ülaltoodud meetodid on ebaõnnestunud ja te ei suuda oma võrrandile õigeid tegureid leida, kasutage ruutkeskmist valemit. Võtke järgmine näide:

x + 4x + 1 = 0



  1. Võtke koefitsientide "a", "b" ja "c" väärtused ja asendage need järgmise ruutkeskmise valemiga:

    x = -b ± √ (b - 4ac)
          ---------------------
    2a
    Seejärel saame avalduse:

    x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2.



  2. Lahendage võrrand x leidmiseks. Nagu ülal näete, peaksite saama kaks x väärtust:


    x = -2 + √ (3) või x = -2 - √ (3).



  3. Tegurite leidmiseks kasutage väärtust x. Sisestage eelnevalt saadud x väärtused kahe polünoomi avalduse konstanditena. Need on teie tegurid. üleskutse h ja k x väärtused ja kirjutage kaks faktoorikat:

    (x - h) (x - k)
    Sel juhul on lõpptulemus:

    (x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)).

6. meetod kalkulaatori kasutamine

Kui teil on lubatud kasutada graafikukalkulaatorit, pidage meeles, et see hõlbustab teie ülesannet oluliselt, eriti eksamite ajal. Need juhised kehtivad ainult kaubamärgi Texas Instrument graafiliste kalkulaatorite kohta. Võtame näiteks järgmise võrrandi:

y = x - x - 2



  1. Sisestage oma võrrand kalkulaatorisse. Peate kasutama "resolveri võrrandit", see tähendab ekraani.



  2. Tehke kalkulaatoril oma võrrandi graafiline esitus. Pärast võrrandi sisestamist vajutage - siis peaksite ilmuma kõvera graafiline esitus (täpsemalt saate "kaare", kuna töötate polünoomidega).



  3. Leidke kaare ristumiskohad x-teljega (x). Kuna polünoomvõrrandid kirjutatakse tavaliselt kujul: ax + bx + c = 0, on need kaks x väärtust, mille jaoks avaldis on võrdne nulliga:

    (-1, 0), (2 , 0)
    x = -1, x = 2.
    • Kui te ei saa lugeda väärtusi selle kohta, kus teie kõver ristub x-teljega, vajutage siis. Vajutage või valige "null". Liigutage kursorit ühest ristmikust vasakule ja vajutage. Seejärel liigutage kursorit sellest ristmikust paremale ja vajutage uuesti. Järgmisena liigutage kursorit ristmikule võimalikult lähedale ja vajutage uuesti. Kalkulaator leiab väärtuse x. Tehke sama sama ka teise ristmiku jaoks.



  4. Lõpuks sisestage eelmises etapis saadud x väärtused kahefaktorisse avaldisse. Kui helistame h ja k meie kaks x väärtust, kasutame siis järgmist väljendit:

    (x - h) (x - k) = 0
    Ja nii saame kaks järgmist tegurit:

    (x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2).
  • Pliiats
  • Paber
  • Teise astme võrrand (või ruutvõrrand)
  • Graafikukalkulaator (valikuline)